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X は集合で、行列群の場合は X はベクトル空間であった）。変換群の概念は対称変換群（あるいは「対称性の群」）の概念に近い関係にある。変換群というとある構造を保つ変換「全体」の成す群を意味することが多い。 変換群の理論は群論と微分幾何学とを結びつける橋渡しの役割を果たすものである。多
f\circ k} は K から Y への零射である； 射 k′: K′ → X であって f ∘ k′ が零射であるものが任意に与えられると，一意的な射 u: K′ → K が存在して，k ∘ u = k' と射を分解できる。 多くの具体的な（英語版）文脈において，射 k よりも対象 K を「核」と呼んでいることに注意。それらの状況では，K
= vu = e であり、v2 = u であり v3 = uv = e だからだ。 群の位数と元の位数はよく群の構造の情報をもたらす。大ざっぱに言えば、位数の分解が複雑であればあるほど群も複雑である。 群 G の位数が 1 であれば、群は自明群と呼ばれる。元 a が与えられると、ord(a) = 1
(1)〔物〕 原子核のこと。
〔真根(サネ)の意〕
が群 G の部分集合とすると、S を含む最小の G の部分群を S が生成する部分群といい、しばしば ⟨S⟩ で表す。 与えられた群の、部分群の全体、および正規部分群の全体は、ともに集合の包含関係にかんして完備束を成す（この性質および関係する結果については束論を参照）。 任意に集合 A が与えられたとき、A
個体群動態論 (こたいぐんどうたいろん、英語: population dynamics) は、生物の個体群の大きさ（個体数や生物量、密度）の時間的・空間的変動の様子を研究する分野。個体群動態学とも呼ばれる。個体群生態学における一分科であり、なおかつ個体群生態学の主要部分でもある。 個体群
と表すことができて、左剰余類 aH は aH = {ah1, ah2, ah3, …, ahm} となる。 部分群 H から同値類 aH への写像 φa : H → aH を φa(h) = ah と定義するとき、φa(h1) = φa(h2) とすると、ah1 = ah2 となるから、左から a−1 を掛けて
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