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をいう。この広い意味での定義での S = G に関する核が正規核である。正規閉包 HG = ⟨ g−1Hg | g ∈ G ⟩ との対比から正規核を HG と表すこともある。任意の正規部分群に対してその正規核は、それ自身と一致する。 正規核の概念は、群の集合への作用の文脈で重要である。各点における等方部分群の正規核
= vu = e であり、v2 = u であり v3 = uv = e だからだ。 群の位数と元の位数はよく群の構造の情報をもたらす。大ざっぱに言えば、位数の分解が複雑であればあるほど群も複雑である。 群 G の位数が 1 であれば、群は自明群と呼ばれる。元 a が与えられると、ord(a) = 1
が群 G の部分集合とすると、S を含む最小の G の部分群を S が生成する部分群といい、しばしば ⟨S⟩ で表す。 与えられた群の、部分群の全体、および正規部分群の全体は、ともに集合の包含関係にかんして完備束を成す（この性質および関係する結果については束論を参照）。 任意に集合 A が与えられたとき、A
個体群動態論 (こたいぐんどうたいろん、英語: population dynamics) は、生物の個体群の大きさ（個体数や生物量、密度）の時間的・空間的変動の様子を研究する分野。個体群動態学とも呼ばれる。個体群生態学における一分科であり、なおかつ個体群生態学の主要部分でもある。 個体群
と表すことができて、左剰余類 aH は aH = {ah1, ah2, ah3, …, ahm} となる。 部分群 H から同値類 aH への写像 φa : H → aH を φa(h) = ah と定義するとき、φa(h1) = φa(h2) とすると、ah1 = ah2 となるから、左から a−1 を掛けて
の元であり、互いに素な巡回置換の積で表すことができる。p 個の f を合成してできる写像 fp は恒等写像であり、Sym(S) の単位元であるので、f の表現における各巡回置換の長さは 1 あるいは p である。さらに、f の表現における長さ 1 の巡回置換の個数を s、長さ p の巡回置換の個数をtとすると、
幾何学的群論の外的な前身には、リー群の格子の研究、特にモストウの剛性定理、クライン群（英語版）の研究、1970年代と1980年代初頭に低次元トポロジーと双曲幾何学で達成された進歩、特にウィリアム・サーストンの幾何化プログラムが含まれる。 幾何学的
(1)多くの同類のものが集まっていること。 むれ。 むらがり。 集まり。
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