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射は双射だが、双射は必ずしも同型射ではないことである。例えば、可換環の圏において包含射 Z → Q は双射だが同型射ではない。しかし、全射かつ分裂単射であるような、もしくは単射かつ分裂全射であるような任意の射は同型射でなければならない。集合の圏 Set のように、任意の双射が同型射であるような圏は、均衡圏
f\circ k} は K から Y への零射である； 射 k′: K′ → X であって f ∘ k′ が零射であるものが任意に与えられると，一意的な射 u: K′ → K が存在して，k ∘ u = k' と射を分解できる。 多くの具体的な（英語版）文脈において，射 k よりも対象 K を「核」と呼んでいることに注意。それらの状況では，K
数学の一分野である圏論において、モナド（英語: monad）とは、モノイドに似た構造を備えた自己関手である。モナドは半順序集合上の閉包作用素の一般化や、双圏（英語: bicategory）上のモノイドに似た構造として捉えられ、随伴関手（または随伴1-セル）と強い関係を持つ。双対概念はコモナド（英語版）である。
位相空間の圏における積は、各因子の台集合のデカルト積を台として積位相を入れた空間である。積位相はすべての射影が連続であるような最も粗い位相（英語版）である。 一つの環 R 上の加群の圏における積は、台集合のデカルト積に成分ごとの加法と分配的な積を入れたものである。 群の圏における積は、台集合のデカルト積に成分ごとの積を入れた群の直積によって与えられる。
圏論という数学の分野において，双対性（そうついせい，英: duality）は圏 C の性質と反対圏 Cop の双対的な性質の間の対応である．圏 C についてのステートメントが与えられると，各射の始域と終域を入れ替え，2つの射の合成の順序を入れ替えることによって，反対圏 Cop についての対応する双対命題が得られる．双対性
数学の一分野圏論において、極限とは積や引き戻しや逆極限といった普遍的な構成たちの根底にある性質を捉えた抽象概念である。双対的に余極限とは非交和、直和、余積、押し出し（英語版）、直極限のような構成を一般化したものである。 極限と余極限は、強く関連した概念である普遍性や随伴関手と同様に、高度に抽象化され
図式と呼ぶのである。 よく使われる図式では、添え字圏 J は小さい圏や有限である。このとき、図式は小さいとか有限であるという。 圏 C 上の J-型図式の射とは、これら関手の間の自然変換をいう。これは C 上の J-型図式の圏というものを関手圏 CJ として、したがって図式
逆周圏論（ぎゃくしゅうけんろん）とは中央に古い現象が残存しており、その周辺により新しい現象が存在する様な地理的な分布現象の事である。 分かり易い例としては、日本語の方言のアクセントが典型的であるとされており、かつての文化的中心地であった京都とその周辺部には京阪式アクセント及びその変種（右図橙色および
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