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ける非常に難しい問題を、より簡単な代数的問題に関連づけることである。例えば、点付き位相空間に対してその基本群を対応させる「自然な対応」は関手を用いて得られると考えることができる。 基本群とホモロジー群のような「似た」数学的変換はしばしば「自然に」関連づけ
射は双射だが、双射は必ずしも同型射ではないことである。例えば、可換環の圏において包含射 Z → Q は双射だが同型射ではない。しかし、全射かつ分裂単射であるような、もしくは単射かつ分裂全射であるような任意の射は同型射でなければならない。集合の圏 Set のように、任意の双射が同型射であるような圏は、均衡圏
f\circ k} は K から Y への零射である； 射 k′: K′ → X であって f ∘ k′ が零射であるものが任意に与えられると，一意的な射 u: K′ → K が存在して，k ∘ u = k' と射を分解できる。 多くの具体的な（英語版）文脈において，射 k よりも対象 K を「核」と呼んでいることに注意。それらの状況では，K
数学の一分野である圏論において、モナド（英語: monad）とは、モノイドに似た構造を備えた自己関手である。モナドは半順序集合上の閉包作用素の一般化や、双圏（英語: bicategory）上のモノイドに似た構造として捉えられ、随伴関手（または随伴1-セル）と強い関係を持つ。双対概念はコモナド（英語版）である。
位相空間の圏における積は、各因子の台集合のデカルト積を台として積位相を入れた空間である。積位相はすべての射影が連続であるような最も粗い位相（英語版）である。 一つの環 R 上の加群の圏における積は、台集合のデカルト積に成分ごとの加法と分配的な積を入れたものである。 群の圏における積は、台集合のデカルト積に成分ごとの積を入れた群の直積によって与えられる。
わすことである。それゆえ製図は設計者の描いた設計像を表現するという設計の一側面であると理解しなければならない」とした。 機械製図論を専門とした清家正は、1926年（大正15年）に最初の著書「科学的研究に基ける製図論」以降、「製図論」「製図論考」といった多くの製図論に関する著書を通して製図と製図論を追
圏論という数学の分野において，双対性（そうついせい，英: duality）は圏 C の性質と反対圏 Cop の双対的な性質の間の対応である．圏 C についてのステートメントが与えられると，各射の始域と終域を入れ替え，2つの射の合成の順序を入れ替えることによって，反対圏 Cop についての対応する双対命題が得られる．双対性
数学の一分野圏論において、極限とは積や引き戻しや逆極限といった普遍的な構成たちの根底にある性質を捉えた抽象概念である。双対的に余極限とは非交和、直和、余積、押し出し（英語版）、直極限のような構成を一般化したものである。 極限と余極限は、強く関連した概念である普遍性や随伴関手と同様に、高度に抽象化され
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