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加法逆元：R の各元 a に対して a + (−a) = (−a) + a = 0 となる −a ∈ R が取れる。 乗法の結合性：R の各元 a, b, c に対して (a ∗ b)∗ c = a ∗(b ∗ c) が成り立つ。 乗法単位元：R の元 1R が存在して、R の全ての元 a に対して 1R
element）あるいは中立元（ちゅうりつげん, 英: neutral element）は、二項演算を備えた集合の特別な元で、ほかのどの元もその二項演算による単位元との結合の影響を受けない。 (M, ∗) を集合 M とその上の二項演算 ∗ のなすマグマとする。 M の元 e が ∗ に関する（両側）単位元であるとは、M
双対概念である余代数（双対多元環）も参照。 環論あるいは線型代数学において： 一般的なクラス: 環上の多元環: 双線型な乗法を持つ加群 体上の多元環: 双線型な乗法を持つベクトル空間（体上の加群） あるいは 結合多元環: 双線型な乗法が結合的であるような多元環。 分配多元環（非結合多元環）:
準同型は、A から A への A 準同型に拡張できず、したがって環が自己移入的でなく、フロベニウスでない。 フロベニウス多元環の直積やテンソル積はフロベニウス多元環である。 体上の有限次元可換局所多元環が、フロベニウスであることと、右正則加群が移入的であることと、多元環が唯一つの極小イデアルを持つことは同値である。
(1)長さ・質量・時間など， ある量を数値で表す時， 比較の基準となるように大きさを定めた量。 メートル・グラム・秒など。
s • 0 の両辺から s • 0 を簡約することにより得られる。 零環と加法および乗法の単位元 R を加法単位元 0 と乗法単位元 1 を持つ環とする。これら二つの単位元が等しい (0 = 1) とすると、R の任意の元 r に対し r = r × 1 = r × 0 = 0 となるから R は自明な零環
で定めると、この乗法に関してジョルダン多元環になる。リー多元環の場合とは対照的に、全てのジョルダン多元環がこの方法で得られるわけではなく、この方法で得られるジョルダン多元環は特殊 (special) であるという。 交代多元環（交代代数）は交代結合性を満たす多元環である。交代多元環のもっとも重要な例は八元数全体の成す実多元環
は K の元 k を A の元 k1, 即ち A の単位元 1 のスカラー k-倍へ写す。また写像 s はもともとの素のスカラー乗法 K × A → A である。従ってスカラー乗法が陰伏的なものと理解するならば、上記の等式は s のところを Id に代えて記すこともある。 K
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