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\operatorname {Hom} (P,K)\to 0} が完全となる加群 P のことを射影加群と呼ぶ。 R を単位元をもつ環とし、以下では加群はすべて左 R 加群、射はすべて左 R 加群の準同型を指すことにする。 加群 P が射影加群である、あるいは射影的とは次の同値な条件のいずれかが成り立つことをいう。 関手
に写すことができる（三重推移性）。組に属する点の数は、PGL2(K) は三次元なので、これ以上増やすことができない。即ち、この群作用は鋭三重推移的である。このことの計算論的側面として 複比がある。実際、逆のことが一般化された形で成り立つ: 「体」を「KT-体」（乗法逆元をとる操作を適当な種類の対合に一般化する）に置き換え、「PGL」も
(1)物の影をうつすこと。 投影。
中心に属する行列の作用は自明となるから、射影一般線型群 PGL(2, R) もまた射影直線に自然に作用する。これらは射影直線上の幾何学的変換群である。射影直線を実数直線位無限遠点を加えたものとして表すとき、射影線型群の元は一次分数変換として作用する。これら実射影直線上の変換は射影変換と呼ばれる。
V 上の自己同型写像 (automorphism) の意。 ^ U の元 u は冪単（英語版） (unipotent) ―つまり 1 − u がべき零行列―なので慣習的に U を使う。 ^ Torusの意。 ^ Alperin & Bell 1995, p. 41. ^ Alperin & Bell
GLn に対して、 G の k 値点は GLn(k) 内の半単純元あるいはべき単元であるとき、半単純あるいはべき単と定める。（これらの性質は G の忠実表現の取り方に依存しない。）体 k が完全であるとき、k 値点の半単純成分とべき単成分もまた G に属する。すなわち、すべての元 g ∈ G(k) は G(k)
よって特殊線型群に属する行列は特殊ユニタリ行列と行列式が 1 の正定値エルミート行列の積で書ける。 よって群 SL(n, C) の位相は特殊ユニタリ群 SU(n) と行列式が 1 の正定値エルミート行列全体からなる群の積位相で与えられる。 行列式が 1 の正定値エルミート行列はトレース 0 のエルミート行列の指数関数行列として一意的に表せるので、その位相は
over finite fields も参照。 アーベル群に対して自明なものを除くすべての自己同型写像は外部自己同型（英語版）と呼ばれる。 非アーベル群は非自明な内部自己同型群を持ち、ひょっとすると外部自己同型も持つかもしれない。 Herstein, I. N., Topics in Algebra
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