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≤ A {\displaystyle f(x)\leq A} が成立するとき、その函数は上界 A によって上から抑えられる（bounded above）と言い、そのような A が存在するときその函数は上に有界であるという。それと対照的に、X 内のすべての x に対して f ( x ) ≥ B {\displaystyle
有界入力有界出力安定性（ゆうかいにゅうりょくゆうかいしゅつりょくあんていせい、英: Bounded-Input Bounded-Output Stability）またはBIBO安定性（英: BIBO Stability）は、信号処理や制御理論における信号やシステムの安定性の一形態である。システムがBIBO安定
全有界空間は（有限個の有界集合の合併は有界なので）有界である。しかしその逆は一般には成り立たない。例えば、離散距離を備える無限集合は有界であるが、全有界ではない。 M をユークリッド空間とし、d をユークリッド距離とするとき、（部分空間位相を伴う）部分集合が全有界であるための必要十分条件は、それが有界であることである。
数学の分野における有界関数とは、下界と上界、すなわちその関数のどの値の絶対値よりも大きい定数が存在する関数のことを言うが、そのような関数の族を考えた場合には、関数によってそのような定数が異なるものとなる場合がある。もしもそれら全てを抑えるような一つの定数を見つけることが出来るなら、そのような関数の族は一様有界（いちようゆうかい、英:
界相空間を初めて考えたのはマッキーで、命名はブルバキによる（フランス語で有界を意味する borné (と位相 topology) に由来）。 任意の集合 X について、X 上の有界集合系あるいは界相有界型[要出典] (bornology) とは、X の部分集合族 B で、 B は
ノルム空間上の線形作用素の有界性に関する条件は、次のように言い換えることが出来る。作用素は、すべての有界集合をふたたび有界集合へと写すとき、有界であると言われる。ここでの集合の有界性は、線形位相空間の集合に対するより一般的な条件を意味する: 集合が有界であることと、その集合が 0
ここで「非有界作用素」という語は誤解を招く恐れがある。実際に意味するところは、 「非有界」は、「必ずしも有界ではない」という意味で解釈される; 「作用素」は、「線型作用素」と解釈される（これは「有界作用素」の場合と同様）; 作用素の定義域は線型部分空間であり、必ずしも全空間ではない（これは「有界作用素」の場合と異なる）;
解析学における有界変動の函数（ゆうかいへんどうのかんすう、英: function of bounded variation）あるいは有界変動函数（BV-function; BV函数）は、その変動が有界、すなわち全変動（英語版）が有限値となるような実数値函数を言う。この性質は函数のグラフが以下に述べる意味において素性のよい
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