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〔factorial〕
f(x+(k-1)h)} で与えられる。この記法の下で上昇階乗冪は [x]k/1 であり下降階乗冪は [x]k/−1 である。 [脚注の使い方] ^ 降冪、下方階乗冪とも。 ^ 昇冪、上方階乗冪とも。 ^ 特に (x)n のことを言い、上昇階乗冪を表す記号とする文献もあるので注意（この場合、下降階乗冪は
数学における自然数の組合せ論的函数（二項係数・階乗類似函数）として、超階乗（ちょうかいじょう、英: superfactorial）n$ は階乗の拡張となるものである。ただし、幾つかの異なる定義が存在する。 クリフォード・ピックオーバー（英語版）は1995年に著書 Keys to Infinity において、次の超階乗を定義するために新しい表記
掛け算の記号。 「×」の記号。
は二つとも隣り合うしかなく、それを取り除けば k − 1 を最大元とする順列が残るが、そのできた順列において隣り合う k が入れるのは n 通りの位置が考えられる。これで再帰的構成が得られたから、スターリング順列の数が二重順列で数えられることは帰納的にわかる。
以下の最大の素数を p として、p# に等しい。p に素数の値を小さい順に代入していくことより、素数階乗の値は小さい順に 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, … 5# 以上の素数階乗数は全て一の位が
階乗素数（かいじょうそすう、英: factorial prime）とは、階乗との差が 1 である素数のことである。つまり、n! ± 1（n は自然数）と表される素数のことである。 階乗素数は少ないことと、自然数の中でしばしば合成数が連続して存在することが説明できる。n! ± k (2 ≤ k ≤ n)
交互階乗（こうごかいじょう、英: alternating factorial）は、自然数で、階乗数を以下の式にしたがって足し合わせた数である。 a f ( n ) = ∑ i = 1 n ( − 1 ) n − i i ! {\displaystyle \mathrm {af} (n)=\sum
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