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〔数〕
O(1, 1) と呼ばれる群を成す。この群は双曲的回転と z ↦ ±z および z ↦ ±z* で与えられる4つの離散的鏡映変換の組み合わせからなる（双曲的回転の全体は SO+(1, 1) で表される O(1, 1) の部分群を成す）。 双曲角 θ を双曲回転 exp(jθ) へ写す指数写像 exp
抽象代数学における双複素数（そうふくそすう、英: bicomplex number; 複複素数）とは、複素数の順序対 (w, z) としてケーリー＝ディクソン構成から得られる。ここに、双複素数の共軛が (w, z)* ≔ (w, −z) で、また二つの双複素数の積が ( u , v ) ( w
2πi だけ跳ぶ。 もっと別な方法を用いれば、各非零複素数に対して対数を一つずつ選んでできる函数 L(z) が C* の全ての点上で連続となることができるであろうか、残念ながら答えは「否」である。その理由を見るために、そのような対数函数を単位円に沿って追跡する（つまり、L を、θ が 0 から 2π
を持つ周期函数である。一般に任意の整数 n に対して exp(z + 2nπi) = exp(z) が成り立つ。この周期性のために、逆函数となるべき対数函数の複素数への拡張は無限多価となる。 絶対値に関して、|exp(z)| = |ex| および |exp(iy)| = 1 が成り立つ。すなわち、複素指数函数の絶対値は引数の実部
など）。 数において複数とは1より多い（つまり2以上）の個数を一括りで表現した表現である。複数に含まれないものは、単数、零、負数などであり、通常は小数や分数も含まれない。 主に個数に対して扱い、長さや体積などに対しては複数という言葉は使用されない。ただし、年などには複数年などのように使用される。
数学における複素 n-次元（数）空間（すうくうかん、英: complex n-space）とは、複素数からなる順序付けられた n-組全体の成す集合を言い、Cn と書く。これは複素数全体の成す集合 C の n-重デカルト積であり、記号で書けば C n = { ( z 1 , … , z n ) ∣ z
GL(2) の総実代数体のヴェイユ制限（英語版）と、シンプレクティック群である。）それらは、保型表現が解析関数から生じうるものである。ある意味でこれはジーゲルとは矛盾しない。現代の理論はそれ自身の異なる方向性を持つものである。 その後の発展として、超関数 (hyperfunction)
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