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うる。射影平面だけを考えた場合でさえ、公理的な方法では、そのモデルの中で線型代数学を通じた記述ができないという結果となる。 幾何学におけるこのような状況が覆ることになるのは、クレブシュ、リーマン、マックス・ネーターらによる（既存の手法を拡充する）一般の代数曲線に関する研究、そして不変式論の登場による
有限幾何の場合は同じ次元でも各種の異なった(幾何学的)構造が存在し得る。 有限幾何は有限体上の構造と関連したベクトル空間として、線型代数を通じて定義できる。それはガロア幾何とも呼ばれる。または有限幾何は、純粋に組合せ論的に定義することもできる。 多くの場合には(しかしすべてではない)有限
k-次の束 (pencil of order k) と呼ぶ。 与えられた一直線を通る平面の全体の成す族である平面束はしばしば扇 (fan) と呼ばれる。 平面上の直線束はあたかも筆先を合わせた鉛筆の如くである。 一点から放射する半直線の束 一点に入射する半直線の束 無限遠を通る直線の束は平行線の族を成す
+ 1)-系である（スタイナー系参照）。逆に N ≥ 2 に対するこの形のスタイナー系が射影平面となることが証明できる。 位数 N の互いに直交するラテン方格の総数は高々 N − 1 である。これが N − 1 となりうる必要十分条件は、その位数の射影平面が存在することである。
高次元幾何学において、超多面体の面とは、その任意の次元の要素を言う。k 次元の面を k-次元面 (k-face) と呼ぶ。通常の多面体の多角形面は、二次元面である。超多面体の面全体の成す集合には超多面体自身と空集合が含まれ、一貫性のため空集合の「次元」は −1 が与えられる。任意の n-次元超多面体に対し、その面集合は −1
が二次曲面 Q 上に無いならば、対応する超平面 h は定義可能（即ち、恒等的に零でない）で、かつ p を含まない。 点 p が二次曲面 Q 上にあって、かつ対応する超平面 h が定義可能ならば、h は p を含む（このとき p は正則点 (regular point) と呼ばれる）。実は、この超曲面
であり、従って楕円型円束に属する任意の円はその二点を必ず通る。楕円型円束は虚円を含むことはない。 双曲型円束: (図の青の円束) 二つの生成円が全く交わらない場合。この場合、円束は実円も虚円も含み、また二つの点円（これをポンスレ点あるいは焦点と呼ぶ）も含む。円束が双曲型であるためには、平面上の各点がその円束に属する円
は線型独立ゆえ所期の結果を得る。 これは、平面上の直線束の場合および、空間上の（直線を軸とする）平面束の場合を特別な場合として含む。 ^ 微分幾何学あるいは代数幾何学における直線束は、本項に言う意味とは異なり、一次の bundle をいう。 ^ 岩波数学辞典 (第二版), 『射影幾何学』 直線に対する平面束（イタリア語版）
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