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双対概念である余代数（双対多元環）も参照。 環論あるいは線型代数学において： 一般的なクラス: 環上の多元環: 双線型な乗法を持つ加群 体上の多元環: 双線型な乗法を持つベクトル空間（体上の加群） あるいは 結合多元環: 双線型な乗法が結合的であるような多元環。 分配多元環（非結合多元環）:
によって明示的に与えられる。上の式は一方の多項式に零を係数とするダミーの項を加えて延長し、両方の多項式に形式的に現れる冪の集合を同じものにする。下の式では右辺の内側の和は 0 ≤ i ≤ m および 0 ≤ j ≤ n の範囲でのみ添字を動かす。和の範囲を明示しない形で加法と乗法の式を書けば、 ( ∑ i a
準同型は、A から A への A 準同型に拡張できず、したがって環が自己移入的でなく、フロベニウスでない。 フロベニウス多元環の直積やテンソル積はフロベニウス多元環である。 体上の有限次元可換局所多元環が、フロベニウスであることと、右正則加群が移入的であることと、多元環が唯一つの極小イデアルを持つことは同値である。
で定めると、この乗法に関してジョルダン多元環になる。リー多元環の場合とは対照的に、全てのジョルダン多元環がこの方法で得られるわけではなく、この方法で得られるジョルダン多元環は特殊 (special) であるという。 交代多元環（交代代数）は交代結合性を満たす多元環である。交代多元環のもっとも重要な例は八元数全体の成す実多元環
は K の元 k を A の元 k1, 即ち A の単位元 1 のスカラー k-倍へ写す。また写像 s はもともとの素のスカラー乗法 K × A → A である。従ってスカラー乗法が陰伏的なものと理解するならば、上記の等式は s のところを Id に代えて記すこともある。 K
γ⋅NL/K(c) と書けることである。 巡回多元環のテンソル積は適当な巡回多元環にブラウアー同値である。 体の分離拡大に関するブラウアー群（あるいは拡大のガロワ群のシューア乗因子（英語版））の元（ブラウアー同値類）の代表元として接合積（とくに巡回多元環）がとれる。(see also: en:Brauer
(1)円の輪郭。 円形。 また， それに近い形。
※一※
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