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のコピーに対応し、それら k× のコピーが合わさって P(V) 上の k×-束を成す。k× は k と一点の違いしかないから、各繊維にその点を添加して、P(V) 上の束にすることができる。この直線束を自然な直線束 (tautological line bundle) と呼ぶ。またこの直線束を O (
られる測度）の完備化として定義することができる。 実数直線上のルベーグ測度は局所コンパクト群上のハール測度のもっとも簡単な例のひとつである。 直線 虚線（英語版） Munkres, James (1999). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2
をどのくらい動かすかを表すステップサイズを計算する。そのステップサイズを用いて、解を求める方法として、最急降下法、ニュートン法、準ニュートン法など、数多く存在する。ステップサイズは厳密に求める方法と近似的に求める方法がある。 次の勾配法の例は、第4ステップで直線探索を用いている。 反復カウンターを k = 0 {\displaystyle
に写すことができる（三重推移性）。組に属する点の数は、PGL2(K) は三次元なので、これ以上増やすことができない。即ち、この群作用は鋭三重推移的である。このことの計算論的側面として 複比がある。実際、逆のことが一般化された形で成り立つ: 「体」を「KT-体」（乗法逆元をとる操作を適当な種類の対合に一般化する）に置き換え、「PGL」も
付き位相多様体）である。また、第一可算公理は満たすが、第二可算公理を満たさず、可分ではない（したがって、多様体の定義に可分性を課しているような文献であれば、長い直線は多様体とは言えない）。 長い直線と長い半直線は、（非可分な）可微分多様体（半直線の場合は境界付き可微分多様体の構造を持つこともできる。
間に人を入れないで， 直接， 本人が行うさま。 じか。
〔「なお（直）」を重ねて意味を強めた語〕
中学卒業後、魂の抜けた隠居生活を送っていた。何とか高校まで通わせてやりたいと案ずる母は、チョンマゲ先生と一計を企む。東京大学そっくりに改装した貧乏高校、優秀館高校の前までおびき出し、ライバル視していた多分と共に、二次募集を受けさせてやろうと言うのだ。東大通と多分は学内で激しく争った末、30分であっ
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