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体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体）、4次元は6種（正五胞体、正八胞体、正十六胞体、正二十四胞体、正百二十胞体、正六百胞体）の正多胞体が存在する。またこれらの次元には星型正多胞体というものも存在し、2次元は無限、3次元には4、4次元には10の星型正多胞体が存在する。
q、1つの辺に集まる胞の数を rとして{p, q, r} とあらわす。 4次元の正多胞体は、6種類存在する。 双対関係は、 正八胞体⇔正十六胞体 正百二十胞体⇔正六百胞体 で、正五胞体と正二十四胞体はそれぞれ自己双対である。 四次元における半正多胞体とは、3次元でいう半正多面体に相当する多胞体のことである。その定義は
半正多面体の双対は、アルキメデス双対あるいはカタランの立体と呼ばれる。1種類の正多角形でない面からできており、すべての二面角は等しい。カタランの立体の面心（内接円の中心）を頂点とする立体は半正多面体であるが、半正多面体の面心を頂点とする立体がカタランの立体となるわけではない。 ^ コラム第７回 自分で自分の首を絞めた話 ～準正多面体と半正多面体～
立方体の針金をせっけん液に二度浸してシャボン玉を作ると、正八胞体のある種の三次元投影図の形になることが知られている（ただし、このときできる面はわずかに曲がっている）。 正八胞体の回転図 左の図を平行法で立体的に見る 正八胞体の等角図 正五胞体 正十六胞体 正二十四胞体 正百二十胞体 正六百胞体 三角四角のしゃぼん玉?
面形状は線分である。面には胞が2つずつ集まり、これは線分の端点の数（パスカルの三角形の第3段の2番目の数字）に対応している。 自己双対多胞体である。つまり、自らと双対である。なお4次元正多胞体の中では、正五胞体と正二十四胞体が自己双対である。 ペトリー多面体（ペトリー多角形の4次元版）は正八面体である。一般に正単体のペトリー多胞
位数=①の数+②の数+③の数+1 位数=面の数×p 位数=頂点の数×q 位数=1+(2-1)×2回対称軸の数+(3-1)×3回対称軸の数+(4-1)×4回対称軸の数+(5-1)×5回対称軸の数 正多面体 (Platonic solids) という幾何学的概念の成立についての伝承としては、紀元
正六百胞体（せいろっぴゃくほうたい，Regular hexacosichoron）とは、 四次元正多胞体の一種で600個の正四面体からできており、三次元の正二十面体に相当する。標準正多胞体ではない。 胞（構成立体）：正四面体600個 面：1200枚の各正三角形に正四面体2個が集まる。
正十六胞体（せいじゅうろくほうたい，Regular hexadecachoron）とは、 四次元正多胞体の一種で16個の正四面体からなる、四次元の正軸体である。単独で空間充填可能。 胞（構成立体）：正四面体16個 面：32枚の各正三角形に正四面体2個が集まる。 辺：24本の各辺に正三角形4枚、正四面体4個が集まる。
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